Resumão de Teoria de Conjuntos
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
IPC!!!
e - Usa-se de elemento para Conjunto.
; ; e - Usa-se de Conjunto para Conjunto.
Simbologia de Conjuntos: pertence
A,B,C... - Letras Maiúsculas indicam conjuntos;
a,b,c,... - Letras minúsculas indicam elementos;
: não pertence
: está contido
: não está contido
: contém
: não contém
/: tal que
: implica que
: se somente se
: existe
: não existe
: para todo (qualquer que seja)
: conjunto vazio
N: conjuntos dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
Q'=I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
IPC!!
Os elementos repetidos de um conjunto são contados uma única vez. Assim sendo, não é aconselhável a repetição de elementos, o que seria, de todo supérfulo.
1.2 - Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Obs!!
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A .
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Obs!!
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A .
2 - Conjuntos numéricos fundamentais:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Obs:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Obs:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) I Ì R
c) I È Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Operações com conjuntos 3.1 - União ( È ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}. Propriedades imediatas: 3.2 - Interseção ( Ç ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}. Propriedades imediatas: São importantes também as seguintes propriedades : 3.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Propriedades imediatas: 3.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
a) B Ç B' = fb) B È B' = U 4 - Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
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