sábado, 28 de maio de 2011

Resumo da Teoria de Conjuntos

            O conteúdo deste "Resumão" é o primeiro conceito fundamental da Matemática e tem como objetivo dar ao vestibulando base para todos os outros conteúdos programáticos como P.A.,P.G., entre outros cobrados na maioria dos vestibulares do nosso país. 

Resumão de Teoria de Conjuntos
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
IPC!!!

e - Usa-se de elemento para Conjunto.

          ; ; e - Usa-se de Conjunto para Conjunto.



Simbologia de Conjuntos

A,B,C... - Letras Maiúsculas indicam conjuntos;
a,b,c,... - Letras minúsculas indicam elementos;

: pertence
: não pertence
: está contido
: não está contido
: contém
 : não contém
 /: tal que
 : implica que
: se somente se
: existe
 : não existe
: para todo (qualquer que seja)
: conjunto vazio
 N: conjuntos dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros 
Q: conjunto dos números racionais
Q'=I: conjunto dos números irracionais
 R: conjunto dos números reais

IPC!!

Os elementos repetidos de um conjunto são contados uma única vez. Assim sendo, não é aconselhável a repetição de elementos, o que seria, de todo supérfulo.

1.2 - Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que

A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Obs!!
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A
Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (
Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui
2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por
P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A .

2 - Conjuntos numéricos fundamentais:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p
Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que
não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Obs:
a) é evidente que N
Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Obs:
a) é óbvio que N
Ì Z Ì Q Ì R
b) I
Ì R
c)
I È Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

   3 - Operações com conjuntos
3.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3}
È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A
È A = A
b) A
È f = A
c) A
È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A
È U = U , onde U é o conjunto universo.
3.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5}
Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A
Ç A = A
b) A
Ç Æ = Æ
c) A
Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A
Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A
Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A
È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A
Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A
È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A
Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
3.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A -
f = A
b)
f - A = f
c) A - A =
Æ
d) A - B
¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
3.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .

Simbologia:
CAB = A – B.

Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = fb) B È B' = U
c)
f' = U
d) U' =
f
4 - Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A
Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:

n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)










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