Resumo da Teoria de Conjuntos

            O conteúdo deste "Resumão" é o primeiro conceito fundamental da Matemática e tem como objetivo dar ao vestibulando base para todos os outros conteúdos programáticos como P.A.,P.G., entre outros cobrados na maioria dos vestibulares do nosso país. 

Resumão de Teoria de Conjuntos

1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

IPC!!!

e - Usa-se de elemento para Conjunto.

          ; ; e - Usa-se de Conjunto para Conjunto.

Simbologia de Conjuntos

A,B,C... - Letras Maiúsculas indicam conjuntos;
a,b,c,... - Letras minúsculas indicam elementos;



: pertence
: não pertence
: está contido
: não está contido
: contém
 : não contém
 /: tal que
 : implica que
: se somente se
: existe
 : não existe
: para todo (qualquer que seja)
: conjunto vazio
 N: conjuntos dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros 
Q: conjunto dos números racionais
Q'=I: conjunto dos números irracionais
 R: conjunto dos números reais

IPC!!

Os elementos repetidos de um conjunto são contados uma única vez. Assim sendo, não é aconselhável a repetição de elementos, o que seria, de todo supérfulo.

1.2 - Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Obs!!
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2^m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A .

2 - Conjuntos numéricos fundamentais:

Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: é evidente que N Ì Z.

Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Obs:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9

Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Obs:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) I Ì R
c) I È Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

3 - Operações com conjuntos 3.1 - União ( È ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}. Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A È A = A b) A È f = A c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A È U = U , onde U é o conjunto universo. 3.2 - Interseção ( Ç ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}. Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A Ç A = A b) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva) P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva) P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção) P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção) Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. 3.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - f = A b) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 3.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . Simbologia: CAB = A – B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que: a) B Ç B' = fb) B È B' = U c) f' = U d) U' = f 4 - Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)